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신호등, Sine & Cosine
신호등, Sine, Cosine
Angle (내가 가고자 하는 시선) - (신호등을 보는 시선) Sine projection :: (내가 바라보는 시선에서) 신호등의 높이 Cosine projection:: (내가 바라보는 시선으로) 신호등까지 거리 |
강의 토픽
Degrees vs Radians
삼각 함수와 각도의 측정
Sine & Cosine projection 과 오른손의 법칙
Law of Sine & Cosine
Amplitude, Frequency and Phase
Sine, Cosine 함수의 각의 합과 차
역함수 (arc-function)
Cartesian & Polar Coordinates
-- 복소수 평면
Degrees vs Radians
A(θ) = πr 2 θ 2 π θr 2 2 θ 2 r area angle ( θ ) θ 2 각도 θ = 단위원에서 각 θ 의 면적 θ 2 | Why use Radians rather than Degrees?
L ( θ ) 2 πr θ 2 π θr length arc ( θ ) r 각도 θ = 단위원에서 각도 θ 원호의 길이 θ r = 1 → 원둘레 = 2π ⇔ 각도하고 항상 비례 360[deg] = 2π [rad] π = 180 o π 2 90 o Deg → Rad : Deg 360 Deg 180 Rad → Deg :: Rad π |
회전하는 모든 것은 Sine, Cosine 값을 발생시킴
원반 돌리기와 Sine & Cosine
기본 삼각함수
sin ( θ ) = adj hyp cos ( θ ) = opp hyp tan ( θ ) = opp adj sin ( θ ) cos ( θ ) -- Reciprocal functions sin(θ)∙csc(θ) = 1, cos(θ)∙csc(θ) =1, tan(θ)∙cot(θ) = 1 csc(θ) = 1 sin ( θ ) 1 cos ( θ ) 1 tan ( θ ) | 도형의 내각 합: (n-2)×180 삼각형: 180, 사각형: 360, 오각형: 540 --- 180 도식 증가 |
기본 삼각 함수 모양
기본 삼각형 각도와 길이
sin ( π 4 ) 1 2 cos ( π 4 ) tan ( π 4 ) | sin ( π 6 ) 1 2 cos ( π 3 ) cos ( π 6 ) 3 2 sin ( π 3 ) tan ( π 6 ) 1 3 tan ( π 3 ) 1 2 |
각도의 측정
-- anti-clockwise angle → positive
-- clockwise → negative
Sine projection
sin (π−θ) = sin(θ) | b 의 a 에 대한 높이, 각은 항상 a → b 로 측정 height = ‖b‖ sin ( θ ) 시선의 왼쪽(반시계) 방향이면 positive 시선의 오른쪽(시계) 방향이면 negative 평형이면 : 0 |
오른손의 법칙
Sine projection 을 적용 | Right Screw Rule |
Cosine projection
cos(−θ) = cos(θ) | View point 에서 b 의 a 에 비친 그림자의 길이 ; length = ‖b‖ cos ( θ ) θ < 90 o b a θ = 90 o θ > 90 o |
삼각형의 기본 특성
Pythagorean equation c 2 a 2 b 2 | Triangle Inequality a+b > c 삼각형 면적 Area = 1 2 ab sin ( θ ) |
Law of Sine
"변의 길이와 맞은 각의 비는 같다" === d
a
sin
(
α
)
b
sin
(
β
)
c
sin
(
γ
)
밑변이 같으면 원의 내접하는 삼각형의 맞은 각은 같음 sin γ = sin δ sin γ = c d c sin ( γ ) | Inscribed angle 은 중심각의 2 배임 |
Law of Cosine
Scalar product 에서 사용: =
a
∙
b
‖
a
‖
‖
b
‖
cos
(
γ
)
c 2 a 2 b 2 − 2 ab cos ( γ ) | (proof for acute triangle) c 2 ( b − a cos γ ) 2 ( a sin γ ) 2 = b 2 2 ab cos γ a 2 cos 2 a 2 sin 2 = b 2 2 ab cos γ a 2 ( cos 2 γ + sin 2 γ ) = a 2 b 2 2 ab cos γ -- (벡터 상식 비디오 참고) |
-- 둔각 삼각형에 대한 증명해 보세요
삼각함수의 항등식
삼각함수의 지수 표현 sin 2 x ( sin x ) 2 sin 2 ( x ) ( sin ( x ) ) 2 cos 2 x ( cos x ) 2 2 ( x ) ( cos ( x ) ) 2 tan 2 x ( tan x ) 2 2 ( x ) ( tan ( x ) ) 2 | sin 2 ( x ) cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) cos 2 ( x ) cos 2 ( x ) sin 2 ( x ) 1 + tan 2 ( x ) csc 2 ( x ) 1 sin 2 ( x ) cot 2 ( x ) sec 2 ( x ) 1 cos 2 ( x ) |
삼각함수의 변형
y = AmplitudeA sin( FrequencyF (x − Phase) ) + TranslateY
g
(
x
)
A
sin
(
f
(
x
−
ϕ
)
)
b
1
f
Amplitude, Frequency and Period
y = AmplitudeA sin( FrequencyF (x − Phase) ) + TranslateY
y = A sin( F (x− P ) ) + Y --- Period [time] or Wavelength [meter] = 1/Frequency
y = 2 sin( 4 (x − 0.5) ) + 3
-- Amplitude: 2, Frequency: 4, Period ==, Phase: 0.5
2
π
4
π
2
Sine, Cosine 각의 합과 차
sin ( a + b ) sin ( a ) cos ( b ) cos ( a ) sin ( b ) sin ( a − b ) sin ( a ) cos ( b ) cos ( a ) sin ( b ) cos ( a + b ) cos ( a ) cos ( b ) sin ( a ) sin ( b ) cos ( a − b ) cos ( a ) cos ( b ) sin ( a ) sin ( b ) | sin ( 2 a ) sin ( a + a ) sin ( a ) cos ( a ) cos ( 2 a ) cos ( a + a ) cos 2 ( a ) sin 2 ( a ) = 2 cos 2 ( a ) sin 2 ( a ) cos 2 ( a ) = 1 − 2 sin 2 ( a ) tan ( 2 a ) sin ( 2 a ) cos ( 2 a ) = 2 sin ( a ) cos ( a ) cos 2 ( a ) − sin 2 ( a ) = 2 tan ( a ) 1 − tan 2 ( a ) cos 2 ( a ) |
Sine inverse (arc) functions: arcsin(x) or
sin
-
1
(
x
)
arcsin
(
x
)
sin
−
1
(
x
)
Cosine inverse (arc) functions: arccos(x)
arccos
(
x
)
cos
-
1
(
x
)
Tangent Inverse (Arc) Functions : arctan(x)
arctan
(
x
)
tan
-
1
(
x
)
Cartesian - Polar Coordinates
Cartesian - Poloar coordinates
Cartesian to Polar:
r
x
2
+
y
2
tan
(
θ
)
y
x
arctan
(
y
x
)
Polar to Cartesian:
x
r
cos
(
θ
)
y
r
sin
(
θ
)
복소수 평면
e i 0 e i π 2 i e iπ e iπ e i 3 2 π | Basis vectors: Re = ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , i ⟩ span(Re, Im) = "복소수 평면" (벡터 상식 강의 참조) e iφ i sin φ → r e iφ r ( cos φ + i sin φ ) → r 1 e i θ 1 r 2 e i θ 2 r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) = ( r 1 cos θ 1 + r 2 cos θ 2 ) i ( r 1 sin θ 1 + r 2 sin θ 2 ) -- 벡터 더하기 → 복소수 평면: Exp 함수로 나타낸 선형공간 e i 0 e i π 2 i e iπ e iπ e i 3 2 π |
복소수 평면
Cartesian form:
z = a + b
i
Polar form
z = r cos(θ) +r sin(θ), ---= , argument θ, modulus
i
r
a
2
+
b
2
r
=
r
e
iθ
If w =
R
e
iϕ
zw =∙ = =
r
e
iθ
R
e
iϕ
rR
e
i
(
θ
+
ϕ
)
rR
cos
(
θ
+
ϕ
)
+
i
sin
(
θ
+
ϕ
)
z
w
r
e
iθ
R
e
iϕ
r
R
e
i
(
θ
+
ϕ
)
r
R
cos
(
θ
+
ϕ
)
+
i
sin
(
θ
+
ϕ
)
z
n
r
n
(
cos
(
nθ
)
+
i
sin
(
nθ
)
)
⇒ What is "Euler number" e ?
복소수 평면
오일러의 Sine, Cosine, 지수함수의 관계 (Euler Formula) e iφ i sin φ e i 0 e i π 2 i e iπ → e iπ e i 3 2 π |
강의 내용
복소수 평면 : Exp 함수로 나타낸 선형공간
오일러 공식이 왜 성립하나?
오일러 수 e ?
Tyler series & MacLaurin series
e
x
e
x
복리 계산
지수증가, 로지스틱 증가
박테리아 증식
지수감소
커피온도 냉각 Newton's Law of Cooling
복소수 평면
복소수 평면
e i 0 e i π 2 i e iπ e iπ e i 3 2 π | Basis vectors: Re = ⟨ 1 , 0 ⟩ ⟨ 0 , i ⟩ span(Re, Im) = "복소수 평면" (벡터 상식 강의 참조) e iφ i sin φ → r e iφ r ( cos φ + i sin φ ) → r 1 e i θ 1 r 2 e i θ 2 r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) = ( r 1 cos θ 1 + r 2 cos θ 2 ) i ( r 1 sin θ 1 + r 2 sin θ 2 ) -- 벡터 더하기 → 복소수 평면: Exp 함수로 나타낸 선형공간 e i 0 e i π 2 i e iπ e iπ e i 3 2 π |
복소수
Cartesian form:
z = a + b
i
Polar form
z = r cos(θ) +r sin(θ), ---= , argument θ, modulus
i
r
a
2
+
b
2
r
=
r
e
iθ
If w =
R
e
iϕ
zw =∙ = =
r
e
iθ
R
e
iϕ
rR
e
i
(
θ
+
ϕ
)
rR
cos
(
θ
+
ϕ
)
+
i
sin
(
θ
+
ϕ
)
z
w
r
e
iθ
R
e
iϕ
r
R
e
i
(
θ
+
ϕ
)
r
R
cos
(
θ
+
ϕ
)
+
i
sin
(
θ
+
ϕ
)
z
n
r
n
(
cos
(
nθ
)
+
i
sin
(
nθ
)
)
오일러 공식이 왜 성립하나?
"오일러 공식"= 이 성립하나?
e
ix
cos
x
+
i
sin
x
f ( x ) cos x + i sin x e ix e − ix ( cos x + i sin x ) d dx f ( x ) − i e - ix ( cos x + i sin x ) e - ix ( - sin x + i cos x ) = − e - ix ( i cos x + i 2 sin x ) e - ix ( i cos x - sin x ) = 0 ⇒ f ( x ) ∴ f ( 0 ) f ( x ) f ( x ) e − ix ( cos x + i sin x ) f ( 0 ) f ( x ) ⇒ e ix cos x + i sin x |
"Euler number" e 는?
1 = e ∫ 1 1 x dx ln ( x ) = x ∫ 1 1 x dx ln ( x x 0 ) x ∫ x 0 1 x dx ln ( xy ) ln ( x ) ln ( y ) ln ( y x ) ln ( yx − 1 ) ln ( y ) ln ( x ) | e = 1 + 1 1 1 1 ∙ 2 1 1 ∙ 2 ∙ 3 ∞ ∑ n = 0 1 n ǃ e = exp(1) ← e x exp ( x ) - 지수함수 a x e x |
함수 f(x) 의 x = a 에서 다항식 전개: Tyler series
x = a 에서함수의 다항식 전개
f
(
x
)
ln(x) 의 다항식 근사 과정 | Tyler Series 조건: x = a 에서 f ( x ) f ( x ) f ( a ) f ' ( a ) 1 ǃ ( x − a ) f '' (a) 2 ǃ ( x − a ) 2 f ''' ( a ) 3 ǃ ( x − a ) 3 = ∞ ∑ n = 0 f ( n ) ( a ) n ǃ ( x − a ) n f ( 0 ) ( a ) f ( a ) ( x - a ) 0 |
함수 f(x) 의 x = 0 에서 다항식 전개: MacLaurin series
Maclaurin series 라고 함 f ( x ) f ( 0 ) f ' ( 0 ) 1 ǃ x f '' ( 0 ) 2 ǃ x 2 f ''' ( 0 ) 3 ǃ x 3 = a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 Polynomial function space with the basis: {[1,0,0,‥], [0, x x 2 x 3 ⇒ 어떤 미분가능한 함수도 다항식 공간의 벡터로 표현할 수 있음 e x x 1 ǃ x 2 2 ǃ x 3 3 ǃ |
함수의 미분함수
e
x
 | 다항식 전개를 위해서는 미분가능해야 함 지수함수 a x d dx a x lim h → 0 a x + h - a x h lim h → 0 a x a h - a x h lim h → 0 a x ( a h − 1 ) h = a x lim h → 0 a h − 1 h lim h → 0 a h − 1 h = ln a = a x ln a d dx e x e x e e x |
함수의 미분함수
e
x
lim
h
→
0
a
h
−
1
h
ln
(
a
)
f
(
h
)
a
h
−
1
h
lim
h
→
0
f
(
h
)
ln
(
a
)
f
(
h
)
e
h
ln
(
a
)
−
1
h
a
h
e
ln
a
h
e
h
ln
(
a
)
f
(
x
)
e
x
−
1
x
ln
(
a
)
x
h
ln
(
a
)
h
x
ln
(
a
)
lim
h
→
0
f
(
h
)
lim
x
→
0
f
(
x
)
ln
(
a
)
lim
x
→
0
e
x
−
1
x
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
= = = 1 =
ln
(
a
)
lim
x
→
0
d
dx
(
e
x
−
1
)
d
dx
x
ln
(
a
)
lim
x
→
0
e
x
1
ln
(
a
)
ln
(
a
)
함수의 다항식 전개
e
x
Polynomial expansion of Exp function e x (Maclaurin/Tyler series) e x x 1 ǃ x 2 2 ǃ x 3 3 ǃ ∞ ∑ n = 0 x n n ǃ e 1 1 1 ǃ 1 2 ǃ 1 3 ǃ ∞ ∑ n == 0 1 n ǃ Inverse function of f ( x ) : f − 1 ( x ) f - 1 ( f ( x ) ) x Inverse function of e x g(x) = e ln ( g ( x ) ) g ( x ) g ( x ) = a x e ln ( a x ) e x ln ( a ) ln ( e f ( x ) ) f ( x ) ln ( e ) f ( x ) |
함수의 다항식 전개
e
x
d dx cos ( x ) sin ( x ) d dx sin ( x ) cos ( x ) ← d dx x n n x ( n − 1 ) | e ix ix 1 ǃ (ix) 2 2 ǃ (ix) 3 3 ǃ d dx e ix = 1 + i x 1 ǃ x 2 2 ǃ i x 3 3 ǃ x 4 4 ǃ i x 5 5 ǃ = ( 1 − x 2 2 ǃ x 4 4 ǃ i x x 3 3 ǃ x 5 5 ǃ e ix cos ( x ) i sin ( x ) "다항식 전개에 오일러 식 " |
e
x
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
e
x
lim
n
→
∞
(
1
+
x
n
)
n
let f ( n ) ( 1 + x n ) n lim n → ∞ f ( n ) e x ln ( f ( n ) ) ( 1 + x n ) n n ln ( 1 + x n ) ln ( 1 + x n ) 1 n 0 0 lim n → ∞ ln ( f ( n ) ) lim n → ∞ − x ( n 2 + xn − 1 n 2 x ← d dn ln ( 1 + x n ) 1 ( 1 + x n ) d dn ( 1 + x n ) 1 ( 1 + x n ) − x n 2 − x n 2 + xn ⇒ lim n → ∞ f ( n ) e x lim n → ∞ ( 1 + x n ) n | f(n) = ( 1 + 1 n ) n f(1) = ( 1 + 1 1 ) 1 ( 1 + 1 2 ) 2 ( 1 + 1 2 ) ( 1 + 1 2 ) f(3) = ( 1 + 1 3 ) 3 f(100) = ( 1 + 1 100 ) 100 ( 1 + 1 ∞ ) ∞ |
팔방미인: 변화하는 대부분에 존재
e
x
d
dt
(
e
rt
)
r
e
rt
d
dt
N
(
t
)
r
N
(
t
)
--- 증가율/감소율은 그 시점의 총량에 의존함
r
t
e
rt
--- 박테리아가 분당= 10% 증가
r
10 마리 일때는 1분후에 10*0.1 = 1 마리 증가
50 마리 일때는 1분후에 50*0.1 = 5 마리 증가
(1) 시간 t 후의 복리 총 금액 = 원금 ×
e
(
연간 이자율
r)
(
연간
t
)
(2) 인구 증가 P(t) = (초기인구) ∙
P
0
e
(
인구증가율
r
)
(
기간
t
)
(3) 시간 t 시점의 남은량= (초기량) ∙
f
(
t
)
P
0
e
−
(
감소율
k
)
(
기간
t
)
(4) 표준 정규 분포 f=--- x =
(
y
)
1
2
π
e
−
1
2
y
2
y
2