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팔방미인: 자연적으로 변화하는 대부분의 개체
e
x
d
dt
(
e
rt
)
r
e
rt
d
dt
N
(
t
)
r
N
(
t
)
--- 증가율/감소율은 그 시점의 총량에 의존함
r
t
e
rt
--- 박테리아가 분당= 10% 증가
r
10 마리 일때는 1분후에 10*0.1 = 1 마리 증가
50 마리 일때는 1분후에 50*0.1 = 5 마리 증가
(1) 시간 t 후의 복리 총 금액 = 원금 ×
e
(
연간 이자율
r)
(
연간
t
)
(2) 인구 증가 P(t) = (초기인구) ∙
P
0
e
(
인구증가율
r
)
(
기간
t
)
(3) 시간 t 시점의 남은량= (초기량) ∙
f
(
t
)
P
0
e
−
(
감소율
k
)
(
기간
t
)
무한대의 복리 계산:
e
rt
e x lim n → ∞ ( 1 + x n ) n e rt lim n → ∞ ( 1 + r n ) nt e 1 lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n 총금액 = (원금)∙ ( 1 + 연이자율 r 연간복리횟수 n ) n ∙ 기간연도 t 원금 $1000 이자율 20% 10년 후의 원리금:-- 매년 복리: 1000 × ( 1 + 0.2 1 ) 10 매월 복리: 1000 × ( 1 + 0.2 12 ) 12∙10 매 순간 복리: 1000 × ( 1 + 0.2 ∞ ) ∞∙10 e 0.2∙10 |
개체수 증가:와
e
rt
e
rt
(
1
−
e
rt
)
제한 없는 증가: e kt 제한 있는 증가: e kt ( 1 − e kt ) | 개체수 증가 증가: e rt 개체수 증가 N(t) = (초기개체수 N 0 e ( 개체수 증가율 r ) ( 기간 t ) (t 시점의 개체수) = (초기 개체수 N 0 ∙ ( 증가기준 B ) t ( 증가기준 B 만큼증가하는 단위시간 T ) ⇔ N ( t ) N 0 B t T 1 T r |
개체수 지수 증가:
e
rt
f(t=0) → 3 = 3 ∙ 2 0 f(t=5) → (3)∙2 = 3 ∙ 2 1 f(t=10 → (3∙2)∙2 = 3 ∙ 2 2 f(t=15) → (3∙2∙2)∙2 = 3 ∙ 2 3 f(t) → (3∙2∙2∙ ‥ ∙2)∙2 = 3 ∙ 2 t T f ( t - 5 ) f ( t + τ ) b t + τ τ b t τ b τ τ f ( t ) b f(t) = f(0) ∙ b t T f ( 0 ) ( 1 + r k ) kt p | x ( t ) 3 2 t 5 e ln ( 2 t 5 ) e t 5 ln ( 2 ) = x ( 0 ) e t T ln ( b ) x ( 0 ) e ( ln ( b ) T ) t x ( 0 ) e 1 τ t x ( 0 ) e kt x ( 0 ) lim n → ∞ ( 1 + k n ) nt x ( 0 ) ( 1 + k n ) nt -- b >0 :: b > 1 :-- growth factor , 0< b <1 :decay factor ( b = 1/2 이면 T 기간동안 반으로 줄어듬) --- T :: b --- τ = T ln ( b ) e --- k 1 τ ln ( b ) T ← growth constant k e r e rt ← ( e k ) t e k ← 만약 0< b<1 이면 k < 0 감소율 -- n : number of compounds per e-folding unit time τ |
개체수 제한이 있는 지수 증가:
e
rt
(
1
−
e
rt
)
logistic function : standard form f ( x ) 1 ( 1 + e − x )  | f ( x ) L 1 + e k ( x − x 0 ) x 0 standard logistic function:-- f(x) = 1 1 + e −x e x e x + 1 e x 1 + e x d dx f ( x ) e x ∙ ( 1 + e x ) - e x ∙ e x ( 1 + e x ) 2 ( h g ) ' h ' g − h g ' g 2 = e x ( 1 + e x ) 2 ( e x 1 + e x ) ( 1 1 + e x ) = ( e x 1 + e x ) ( 1 − e x 1 + e x ) = f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) = k --- growth rate 는 (현재 개체수: f ( x ) f ( x ) General form: N ( t ) t dN dt rN ( 1 − N K ) N K |
개체수 제한이 있는 지수 증가:
e
rt
(
1
−
e
rt
)
General form: N ( t ) t dN dt rN ( 1 − N K ) N K ∫ 1 N ( 1 − N K ) dN r dt ∫ 1 N ( 1 − N K ) dN r dt ∫ K N ( K − N ) dN 1 N 1 K − N dN ln ( N ) ln ( K − N ) ln ( N K − N ) rt N K − N e ( rt + C ) e C e rt Ae rt A K − N 0 N 0 N 0 N = ( K − N ) Ae rt N + N Ae rt N ( 1 + Ae rt ) KAe rt | N ( t ) K 1 + Ae − rt K 1 + ( K − N 0 N 0 ) e − rt N ( 0 ) K 1 + ( K − N 0 N 0 ) e - r 0 K 1 + ( K N 0 N 0 N 0 ) 1 N 0 --- 초기 개체수 N ( t → ∞ ) K 1 + ( K − N 0 N 0 ) e - r ∞ K --- 개체수는 용량 K 에 수렴함 |
제한이 있는 개체수 증가: 박테리아 증식
Example) 배양접시에 초기에 10 마리의 박테리아가 있음, 10 분에 두배씩 증가함, 배양 접시에 박테리아의 최대 100마리가 가능 | (1) 한 시간 후의 박테리아 수는? ( N max − N 0 ) N 0 ( 100 − 10 ) 10 N ( t ) 100 1 + 9 e − rt → r 20 = 100 1 + 9 e − r ∙ 10 20∙ ( 1 + 9 e − r ∙ 10 ) 18 e − 10 r ln(18) − 10 r r = 1 10 N ( t = 60 ) 100 1 + 9 e − 0.81 ∙ 60 |
(질문) 박테리아가 50 마리가 되는 시간은?
지수 감소
사용분야:-- 대부분의 자연적 감소량은 지수 감소를 따름 방사선 감소, 화학반은, 열전달, 맥주거품 꺼지는 량 등 | Givens: λ : Decay rate λ > 0 N 0 dN dt − λN − λN dN N − λ dt ∫ 1 N dN − λ dt ln ( N ) λt x ∫ 1 1 y dy ln ( x ) C ln ( x ) N ( t ) e ( − λt + C ) e C e − λt N ( t ) N 0 e − λt N 0 e C ⇒ τ = 1 λ T = ln ( 2 ) λ ln ( 2 ) τ N 0 N 0 2 ⇐ N 0 2 N 0 e − λt ln ( 1 2 ) ln ( e − λt ) ln ( 2 ) − λt t ln ( 2 ) λ |
커피 온도
예) 커피 온도C, 방 온도가C 이고, 5분 후C 낮아짐, 한시간 후의 커피온도는?
80
o
20
o
10
o
T ( t ) T room ( T 0 − T room ) e − kt --- 커피 온도는 결국 방 온도와 같아짐, T(∞) = T room ⇒ decay constant k T ( t = 5 ) e − k ∙ 5 70 − 20 80 − 20 e − 5 k ln ( 5 6 ) − 5 k −0.18 = − 5 k k T ( t = 60 ) 60 e − 0.036 ∙ 60 --- 한 시간 후의 커피 온도는 26.9 o ⇒ Newton's Law of Cooling 임 |
질문) 커피 온도가C 가 되는 시간은 얼마나 걸릴까요?
50
o